Question

【題目】已知函數(shù)， ．

（Ⅰ）當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；

（Ⅱ）求函數(shù)在上的最小值；

（Ⅲ）若函數(shù)，當(dāng)時， 的最大值為，求證： .

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）由題，

所以故， ，代入點斜式可得曲線在處的切線方程；

（Ⅱ）由題

（1）當(dāng)時， 在上單調(diào)遞增. 則函數(shù)在上的最小值是

（2）當(dāng)時，令，即，令，即

（i）當(dāng)，即時， 在上單調(diào)遞增，

所以在上的最小值是

（ii）當(dāng)，即時，由的單調(diào)性可得在上的最小值是

（iii）當(dāng)，即時， 在上單調(diào)遞減， 在上的最小值是

（Ⅲ）當(dāng)時，

令，則是單調(diào)遞減函數(shù).

因為， ，

所以在上存在，使得，即

討論可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

所以當(dāng)時， 取得最大值是

因為，所以由此可證

試題解析：（Ⅰ）因為函數(shù)，且，

所以，

所以

所以，

所以曲線在處的切線方程是，即

（Ⅱ）因為函數(shù)，所以

（1）當(dāng)時， ，所以在上單調(diào)遞增.

所以函數(shù)在上的最小值是

（2）當(dāng)時，令，即，所以

令，即，所以

（i）當(dāng)，即時， 在上單調(diào)遞增，

所以在上的最小值是

（ii）當(dāng)，即時， 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以在上的最小值是

（iii）當(dāng)，即時， 在上單調(diào)遞減，

所以在上的最小值是

綜上所述，當(dāng)時， 在上的最小值是

當(dāng)時， 在上的最小值是

當(dāng)時， 在上的最小值是

（Ⅲ）因為函數(shù)，所以

所以當(dāng)時，

令，所以是單調(diào)遞減函數(shù).

因為， ，

所以在上存在，使得，即

所以當(dāng)時， ；當(dāng)時，

即當(dāng)時， ；當(dāng)時，

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

所以當(dāng)時， 取得最大值是

因為，所以

因為，所以

所以