【題目】已知函數(shù), .
(Ⅰ)當(dāng)時,求曲線在處的切線方程;
(Ⅱ)求函數(shù)在上的最小值;
(Ⅲ)若函數(shù),當(dāng)時, 的最大值為,求證: .
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)見解析;(Ⅲ)見解析.
【解析】試題分析:(Ⅰ)由題,
所以故, ,代入點斜式可得曲線在處的切線方程;
(Ⅱ)由題
(1)當(dāng)時, 在上單調(diào)遞增. 則函數(shù)在上的最小值是
(2)當(dāng)時,令,即,令,即
(i)當(dāng),即時, 在上單調(diào)遞增,
所以在上的最小值是
(ii)當(dāng),即時,由的單調(diào)性可得在上的最小值是
(iii)當(dāng),即時, 在上單調(diào)遞減, 在上的最小值是
(Ⅲ)當(dāng)時,
令,則是單調(diào)遞減函數(shù).
因為, ,
所以在上存在,使得,即
討論可得在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
所以當(dāng)時, 取得最大值是
因為,所以由此可證
試題解析:(Ⅰ)因為函數(shù),且,
所以,
所以
所以,
所以曲線在處的切線方程是,即
(Ⅱ)因為函數(shù),所以
(1)當(dāng)時, ,所以在上單調(diào)遞增.
所以函數(shù)在上的最小值是
(2)當(dāng)時,令,即,所以
令,即,所以
(i)當(dāng),即時, 在上單調(diào)遞增,
所以在上的最小值是
(ii)當(dāng),即時, 在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
所以在上的最小值是
(iii)當(dāng),即時, 在上單調(diào)遞減,
所以在上的最小值是
綜上所述,當(dāng)時, 在上的最小值是
當(dāng)時, 在上的最小值是
當(dāng)時, 在上的最小值是
(Ⅲ)因為函數(shù),所以
所以當(dāng)時,
令,所以是單調(diào)遞減函數(shù).
因為, ,
所以在上存在,使得,即
所以當(dāng)時, ;當(dāng)時,
即當(dāng)時, ;當(dāng)時,
所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
所以當(dāng)時, 取得最大值是
因為,所以
因為,所以
所以
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),且.
(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若,討論函數(shù)零點的個數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時,求曲線在處的切線方程;
(2)當(dāng)且,不等式恒成立,求實數(shù)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列滿足: , , .
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)設(shè)數(shù)列的前項和為,且滿足,試確定的值,使得數(shù)列為等差數(shù)列;
(3)將數(shù)列中的部分項按原來順序構(gòu)成新數(shù)列,且,求證:存在無數(shù)個滿足條件的無窮等比數(shù)列.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解學(xué)生的身體狀況,某校隨機抽取了一批學(xué)生測量體重,經(jīng)統(tǒng)計,這批學(xué)生的體重數(shù)據(jù)(單位:千克)全部介于至之間,將數(shù)據(jù)分成以下組,第一組,第二組,第三組,第四組,第五組,得到如圖所示的頻率分布直方圖,現(xiàn)采用分層抽樣的方法,從第、、組中隨機抽取名學(xué)生做初檢.
(Ⅰ)求每組抽取的學(xué)生人數(shù).
(Ⅱ)若從名學(xué)生中再次隨機抽取名學(xué)生進行復(fù)檢,求這名學(xué)生不在同一組的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知曲線, ,則下列說法正確的是( )
A. 把上各點橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向右平移個單位長度,得到曲線
B. 把上各點橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,縱坐標(biāo)不變,再把得到的曲線向右平移個單位長度,得到曲線
C. 把曲線向右平移個單位長度,再把得到的曲線上各點橫坐標(biāo)縮短到原來的,縱坐標(biāo)不變,得到曲線
D. 把曲線向右平移個單位長度,再把得到的曲線上各點橫坐標(biāo)縮短到原來的,縱坐標(biāo)不變,得到曲線
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】【選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程】
極坐標(biāo)系的極點為直角坐標(biāo)系的原點,極軸為軸的正半軸,兩神坐標(biāo)系中的長度單位相同.已知曲線的極坐標(biāo)方程為, .
(Ⅰ)求曲線的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)在曲線上求一點,使它到直線: (為參數(shù))的距離最短,寫出點的直角坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左右焦點分別是,橢圓C的上頂點到直線的距離為,過且垂直于x軸的直線與橢圓C相交于M,N兩點,
且|MN|=1。
(I)求橢圓的方程;
(II)過點的直線與橢圓C相交于P,Q兩點,點),且,求直線的方程。
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