Question

9．已知A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα），且0＜α＜π．
（1）若|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$|=$\sqrt{7}$，求$\overrightarrow{OB}$與$\overrightarrow{OC}$的夾角（O為坐標(biāo)原點）
（2）若$\overrightarrow{AC}$⊥$\overrightarrow{BC}$，求tanα的值．

Answer 1

分析 （1）由條件利用兩個向量的夾角公式求得$\overrightarrow{OB}$與$\overrightarrow{OC}$的夾角．
（2）由條件利用兩個向量垂直的性質(zhì)，求得tanα的值，再根據(jù)tanα＜-1，進(jìn)一步確定的tanα的值．

解答 解：（1）由題意可得|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OC}$|=$\sqrt{{\overrightarrow{OA}}^{2}{+\overrightarrow{OC}}^{2}+2\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}}$=$\sqrt{4+1+4cosα}$=$\sqrt{7}$，
∴cosα=$\frac{1}{2}$，∴α=$\frac{π}{3}$，C（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴cos＜$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$＞=$\frac{\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}}{|\overrightarrow{OB}|•|\overrightarrow{OC}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{2•1}$，∴＜$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$＞=$\frac{π}{3}$．
（2）若$\overrightarrow{AC}$⊥$\overrightarrow{BC}$，則 $\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}$=（cosα-2，sinα）•（cosα，sinα-2）
=cos²α-2cosα+sin²α-2sinα=1-2（cosα+sinα）=0，
∴cosα+sinα=$\frac{1}{2}$，∴cosα•sinα=-$\frac{3}{8}$=$\frac{sinα•cosα}{{sin}^{2}α{+cos}^{2}α}$=$\frac{tanα}{{tan}^{2}α+1}$，
∴tanα=$\frac{-4+\sqrt{7}}{3}$，或 tanα=$\frac{-4-\sqrt{7}}{3}$．
再根據(jù)cosα+sinα=$\frac{1}{2}$，可得α為鈍角，故cosα＜0，sinα＞0，
∴|sinα|＞|cosα|，∴tanα＜-1，故取tanα=$\frac{-4-\sqrt{7}}{3}$．

點評 本題主要考查兩個向量的數(shù)量積的運算，兩個向量垂直的性質(zhì)，根據(jù)三角函數(shù)的值求角，屬于中檔題．