Question

18．（1）已知點(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)O（0，0）、P（2，0）的距離的比為$\sqrt{3}$：1，求點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）已知過點(diǎn)Q（-1，0）的直線l截（1）中M的軌跡的弦長(zhǎng)為2，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出M的坐標(biāo)，直接由點(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)O（0，0）、P（2，0）的距離的比為$\sqrt{3}$：1，列式整理得方程．
（2）過點(diǎn)Q（-1，0）的直線l截（1）中M的軌跡的弦長(zhǎng)為2，可得圓心到直線的距離，利用點(diǎn)到直線的距離公式，建立方程，即可求直線l的方程．

解答 解：（1）設(shè)M（x，y），由點(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)O（0，0）、P（2，0）的距離的比為$\sqrt{3}$：1，得
$\frac{\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}}{\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}}$=$\sqrt{3}$，整理得：（x-3）²+y²=3．
∴點(diǎn)M的軌跡方程是（x-3）²+y²=3．
（2）∵過點(diǎn)Q（-1，0）的直線l截（1）中M的軌跡的弦長(zhǎng)為2，
∴圓心到直線的距離為d=$\sqrt{3-1}$=$\sqrt{2}$，
設(shè)直線l的方程為y=k（x+1），即kx-y+k=0，
∴圓心到直線的距離為$\frac{|4k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{2}$，
∴k=±$\frac{\sqrt{7}}{7}$，
∴直線l的方程為y=±$\frac{\sqrt{7}}{7}$（x+1），

點(diǎn)評(píng) 本題考查了軌跡方程的求法，考查了直線與圓的位置關(guān)系，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．