Question

【題目】直角三角形ABC中角A，B，C對(duì)邊長(zhǎng)分別為a，b，c，∠C=90°．
（1）若三角形面積為2，求斜邊長(zhǎng)c最小值；
（2）試比較an+bn與cn（n∈N*）的大小，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ab=2，∴ab=4．

∵∠C=90°，

∴a2+b2=c2≥2ab=8，解得c≥ ．當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)取等號(hào)．

∴斜邊長(zhǎng)c最小值為2

（2）解：①當(dāng)n=1時(shí)，a+b＞c；

②當(dāng)n=2時(shí)，∵∠C=90°，∴a2+b2=c2；

③當(dāng)n≥3時(shí)，設(shè)cosθ= ，sinθ= ， ．

則 =cosnθ+sinnθ＜cos2θ+sin2θ=1，

∴an+bn＜cn．

【解析】（1）由 ab=2，可得：ab=4．由∠C=90°，可得a2+b2=c2 ， 利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．（2）①當(dāng)n=1時(shí)，利用三角形三邊大小關(guān)系可得a+b＞c；②當(dāng)n=2時(shí)，由∠C=90°，利用勾股定理可得a2+b2=c2；③當(dāng)n≥3時(shí)，設(shè)cosθ= ，sinθ= ， ．由 =cosnθ+sinnθ，再利用三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解基本不等式的相關(guān)知識(shí)，掌握基本不等式：,（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)）；變形公式：．