已知四棱錐P-ABCD,底面是邊長為1的正方形,側(cè)棱PC長為2,且PC⊥底面ABCD,E是側(cè)棱PC上的動點(diǎn)。

   (Ⅰ)不論點(diǎn)E在何位置,是否都有BD⊥AE?證明你的結(jié)論;

   (Ⅱ)求點(diǎn)C到平面PDB的距離;

   (Ⅲ)若點(diǎn)E為PC的中點(diǎn),求二面角D-AE-B的大。

(Ⅰ)證明見解析(Ⅱ)(Ⅲ)


解析:

證明:(Ⅰ) 不論點(diǎn)E在何位置,都有BD⊥AE                      …………1分

連結(jié)AC,由該四棱錐的三視圖可知,該四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形

∴BD⊥AC ∵PC⊥底面ABCD 且平面 ∴BD⊥PC ………3分

又∵∴BD⊥平面PAC 

∵不論點(diǎn)E在何位置,都有AE平面PAC 

∴不論點(diǎn)E在何位置,都有BD⊥AE                    ………………5分

解:(Ⅱ)由該四棱錐的三視圖可知,該四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的正方形,

側(cè)棱PC⊥底面ABCD,且PC=2.                      ………………7分

設(shè)點(diǎn)C到平面PDB的距離為d,

,    

 

---------------------------10分

(Ⅲ) 解法1:在平面DAE內(nèi)過點(diǎn)D作DG⊥AE于G,連結(jié)BG

∵CD=CB,EC=EC, ∴

∴ED=EB, ∵AD=AB  ∴△EDA≌△EBA

∴BG⊥EA ∴為二面角D-EA-B的平面角 ……………… 12分

∵BC⊥DE,   AD∥BC  ∴AD⊥DE

在Rt△ADE中,==BG

在△DGB中,由余弦定理得

=                                ………………15分

解法2:以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn),CD所在的直線為x軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖示:

,從而………………  11分

設(shè)平面ADE和平面ABE的法向量分別為

由法向量的性質(zhì)可得:,

,則,

                        ………13分

設(shè)二面角D-AE-B的平面角為,則

                            …………………………………  15分

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

9、已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90°,AB=BC=PB=PC=2CD=2,
平面PBC垂直平面ABCD,試探求直線PA與BD的位置關(guān)系.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知四棱錐P--ABC的底面ABCD為正方形,PA⊥平面ABCD,PA=AB=2,e為PC的中點(diǎn),F(xiàn)為AD的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明EF∥平面PAB;
(Ⅱ)證明EF⊥平面PBC;
(III)點(diǎn)M是四邊形ABCD內(nèi)的一動點(diǎn),PM與平面ABCD所成的角始終為45°,求動直線PM所形成的曲面與平面ABCD、平面PAB、平面PAD所圍成幾何體的體積.

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如圖,已知四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB∥DC,∠ABC=45°,DC=1,AB=2,PA⊥平面ABCD,PA=1.
(1)求證:AB∥平面PCD
(2)求證:BC⊥平面PAC
(3)求二面角A-PC-D的平面角a的正弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知四棱錐P-ABCD底面ABCD為菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E、F分別是BC、PC的中點(diǎn).
(1)證明:AE⊥PD;
(2)設(shè)AB=2,若H為線段PD上的動點(diǎn),EH與平面PAD所成的最大角的正切值為
6
2
,求此時異面直線AE和CH所成的角.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知四棱錐P-ABCD,底面ABCD為菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E、F分別是BC、PC的中點(diǎn).
(1)證明:AE⊥PD;
(2)設(shè)AB=2,若H為線段PD上的動點(diǎn),EH與平面PAD所成的最大角的正切值為
6
2
,求AP的長度.

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