Question

數(shù)列{a_n}中，a₁=

1

2

，且（n+2）a_n+1=na_n，則它的前20項之和S₂₀=（　�。�

• A、

  18

  19

• B、

  19

  20

• C、

  20

  21

• D、

  21

  22

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由（n+2）a_n+1=na_n，可得

an+1

an

=

n

n+2

，利用“累乘求積”可得a_n=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．利用“裂項求和”即可得出．

解答： 解：∵（n+2）a_n+1=na_n，
∴

an+1

an

=

n

n+2

，
∴a_n=

an

an-1

•

an-1

an-2

•

an-2

an-3

•…•

a3

a2

•

a2

a1

•a1
=

n-1

n+1

•

n-2

n

•

n-3

n-1

•…•

2

4

•

1

3

•

1

2

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
∴它的前20項之和S₂₀=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

20

-

1

21

)
=1-

1

21

=

20

21

．
故選：C．

點評：本題考查了“累乘求積”、“裂項求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．