Question

等比數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前4項(xiàng)和S₄=

40

81

，且a₃²=9a₂a₆．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n，求數(shù)列{

1

bn

}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和的公式即可得出；
（2）利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答： 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q＞0，a_n＞0．
∵S₄=

40

81

，且a₃²=9a₂a₆．∴a1(1+q+q2+q3)=

40

81

，

a

2 1

q4=9

a

2 1

q6，
解得q=

1

3

，a₁=

1

3

．
∴an=(

1

3

)n．
（2）b_n=log₃a₁+log₃a₂+…+log₃a_n=-1-2-…-n=-

n(n+1)

2

．
∴

1

bn

=-

2

n(n+1)

=-2(

1

n

-

1

n+1

)．
∴數(shù)列{

1

bn

}的前n項(xiàng)和=-2[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]
=-2(1-

1

n+1

)
=

-2n

n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和的公式、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、“裂項(xiàng)求和”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．