16.在銳角△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且$a=\frac{1}{2}$,a+b+c=sinA+sinB+sinC.
(1)求角A的大。
(2)求△ABC面積的最大值.

分析 (1)設(shè)$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=k$,則a+b+c=k(sinA+sinB+sinC,所以k=1.于是sinA=$\frac{1}{2}$;
(2)利用余弦定理得出b2+c2=$\sqrt{3}$bc+$\frac{1}{4}$,再利用基本不等式得出bc≤$\frac{1}{4(2-\sqrt{3})}$,從而利用三角形的面積公式即可計(jì)算得解三角形的面積最大值.

解答 解:(1)設(shè)$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=k$,則a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC,
∴a+b+c=k(sinA+sinB+sinC),
又∵a+b+c=sinA+sinB+sinC,
∴k=1.
∴sinA=a=$\frac{1}{2}$,
∵A是銳角,
∴A=$\frac{π}{6}$.
(2)∵a2=b2+c2-2bccosA=b2+c2-$\sqrt{3}$bc=$\frac{1}{4}$,即:b2+c2=$\sqrt{3}$bc+$\frac{1}{4}$,
∴$\sqrt{3}$bc+$\frac{1}{4}$≥2bc,解得:bc≤$\frac{1}{4(2-\sqrt{3})}$,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)等號(hào)成立,
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA≤$\frac{1}{2}×$$\frac{1}{4(2-\sqrt{3})}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{8}$+$\frac{\sqrt{3}}{16}$,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)等號(hào)成立,
∴△ABC面積的最大值為$\frac{1}{8}$+$\frac{\sqrt{3}}{16}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正,余弦定理,基本不等式,三角形面積公式在解三角形的應(yīng)用,考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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