Question

11．已知函數(shù)$f（x）=sin（x+\frac{π}{2}）$，$g（x）=cos（x-\frac{π}{2}）$，則下列結論中正確的是（　　）

• A． 函數(shù)y=f（x）•g（x）的最小正周期為2π
• B． 函數(shù)y=f（x）•g（x）的最大值為1
• C． $x=\frac{π}{2}$是函數(shù)y=f（x）•g（x）的圖象的一條對稱軸
• D． 函數(shù)y=f（x）•g（x）在區(qū)間$[-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}]$是單調增函數(shù)

Answer 1

分析 利用二倍角的正弦公式化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性、最值、圖象的對稱性、單調性，得出結論．

解答 解：∵函數(shù)$f（x）=sin（x+\frac{π}{2}）$，$g（x）=cos（x-\frac{π}{2}）$，
∴函數(shù)y=f（x）•g（x）=cosx•sinx=$\frac{1}{2}$sin2x，
故它的周期為$\frac{2π}{2}$=π，故排除A；再根據(jù)它的最大值為$\frac{1}{2}$，故排除B；
令x=$\frac{π}{2}$，可得y=0，可得函數(shù)的圖象關于點（$\frac{π}{2}$，0）對稱，故跑出C；
由于在區(qū)間$[-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}]$上，2x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，故函數(shù)y為增函數(shù)，故D正確，
故選：D．

點評 本題主要考查二倍角的正弦公式，正弦函數(shù)的周期性、最值、圖象的對稱性、單調性，屬于基礎題．