Question

11．已知函數(shù)$f（x）=sin（x+\frac{π}{2}）$，$g（x）=cos（x-\frac{π}{2}）$，則下列結(jié)論中正確的是（　�。�

• A． 函數(shù)y=f（x）•g（x）的最小正周期為2π
• B． 函數(shù)y=f（x）•g（x）的最大值為1
• C． $x=\frac{π}{2}$是函數(shù)y=f（x）•g（x）的圖象的一條對(duì)稱軸
• D． 函數(shù)y=f（x）•g（x）在區(qū)間$[-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}]$是單調(diào)增函數(shù)

Answer 1

分析 利用二倍角的正弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性、最值、圖象的對(duì)稱性、單調(diào)性，得出結(jié)論．

解答 解：∵函數(shù)$f（x）=sin（x+\frac{π}{2}）$，$g（x）=cos（x-\frac{π}{2}）$，
∴函數(shù)y=f（x）•g（x）=cosx•sinx=$\frac{1}{2}$sin2x，
故它的周期為$\frac{2π}{2}$=π，故排除A；再根據(jù)它的最大值為$\frac{1}{2}$，故排除B；
令x=$\frac{π}{2}$，可得y=0，可得函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)（$\frac{π}{2}$，0）對(duì)稱，故跑出C；
由于在區(qū)間$[-\frac{π}{4}，\frac{π}{4}]$上，2x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]，故函數(shù)y為增函數(shù)，故D正確，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二倍角的正弦公式，正弦函數(shù)的周期性、最值、圖象的對(duì)稱性、單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．