Question

13．已知函數(shù)f（x）=e^x-lnx，則函數(shù)在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為$\frac{1}{2e-2}$．

Answer 1

分析 求得函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程可得切線的方程，再令x=0，y=0，求得與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，再由三角形的面積公式計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：函數(shù)f（x）=e^x-lnx的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=e^x-$\frac{1}{x}$，
函數(shù)在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為e-1，
切點(diǎn)為（1，e），
可得切線的方程為y-e=（e-1）（x-1），
可令x=0，解得y=1；
y=0，解得x=1-$\frac{e}{e-1}$=$\frac{1}{1-e}$．
即有切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為$\frac{1}{2}$×1×$\frac{1}{e-1}$=$\frac{1}{2e-2}$．
故答案為：$\frac{1}{2e-2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及三角形的面積的求法，正確求導(dǎo)和運(yùn)用點(diǎn)斜式方程是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．