Question

已知點，直線，動點到點的距離等于它到直線的距離.

（Ⅰ）求點的軌跡的方程；

（Ⅱ）是否存在過的直線，使得直線被曲線截得的弦恰好被點所平分？

 

Answer 1

（1）；（2）即

【解析】

試題分析：（1）求拋物線標準方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是判斷焦點位置，開口方向，在方程的類型已經(jīng)確定的前提下，由于標準方程只有一個參數(shù)，只需一個條件就可以確定拋物線的標準方程，或根據(jù)定義來求拋物線方程.（2）在解決與拋物線性質(zhì)有關(guān)的問題時，要注意利用幾何圖形的形象、直觀的特點來解題，特別是涉及焦點、頂點、準線的問題更是如此；（3）求雙曲線的標準方程的基本方法是待定系數(shù)法，具體過程是先定形，再定量，即先確定雙曲線標準方程的形式，求出的值.

試題解析：（Ⅰ）因點到點的距離等于它到直線的距離，所以點的軌跡是以為焦點、直線為準線的拋物線，

其方程為.

（Ⅱ）解法一：假設(shè)存在滿足題設(shè)的直線.設(shè)直線與軌跡交于，

依題意，得.

①當直線的斜率不存在時，不合題意.

②當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，

聯(lián)立方程組，

消去，得，（*）

∴，解得.

此時，方程（*）為，其判別式大于零，

∴存在滿足題設(shè)的直線　　　　　　　　　　

且直線的方程為：即. 　　

解法二：假設(shè)存在滿足題設(shè)的直線.設(shè)直線與軌跡交于，

依題意，得.

∵在軌跡上，

∴有，將，得.

當時，弦的中點不是，不合題意，

∴，即直線的斜率,

注意到點在曲線的張口內(nèi)（或：經(jīng)檢驗，直線與軌跡相交）

∴存在滿足題設(shè)的直線　

且直線的方程為：即.

考點：（1）拋物線的標準方程；（2）直線與拋物線的綜合問題.