Question

12．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lnx|，x＞0}\\{|{x}^{2}+4x+3|，x≤0}\end{array}\right.$若關(guān)于x的方程f²（x）+bf（x）+4=0有8個不同的實數(shù)根，則實數(shù)b的取值范圍是（　�。�

• A． [-$\frac{17}{4}$，-4）∪{-5}
• B． [-$\frac{13}{3}$，-4）∪{-5}
• C． [-5，-$\frac{13}{3}$]
• D． [-5，-4]

Answer 1

分析 作出函數(shù)f（x）的圖象，利用換元法轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的分布情況，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．

解答 解：作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：
設(shè)t=f（x），
由圖象知當(dāng)t＞3時，t=f（x）有3個根，
當(dāng)1＜t≤3時，t=f（x）有4個根，
當(dāng)t=1時，t=f（x）有5個根，
當(dāng)0＜t＜1時，t=f（x）有6個根，
當(dāng)t=0時，t=f（x）有3個根，
當(dāng)t＜0時，t=f（x）有0個根，
方程f²（x）+bf（x）+4=0等價為t²+bt+4=0，
∵當(dāng)t=0時，方程不成立，
∴若方程f²（x）+bf（x）+4=0有8個不同的實數(shù)根，
則①等價為t²+bt+4=0有兩個根，滿足1＜t₁≤3，1＜t₂≤3，
②或者t²+bt+4=0有兩個根，滿足t₁=1，t₂＞3，
由①等價為t²+bt+4=0有兩個根，滿足1＜t₁≤3，1＜t₂≤3，
設(shè)h（x）=t²+bt+4，
則滿足$\left\{\begin{array}{l}{△=^{2}-16＞0}\\{h（1）=5+b＞0}\\{h（3）=13+3b≥0}\\{1＜-\frac{2}＜3}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{b＞4或b＜-4}\\{b＞-5}\\{b≥-\frac{13}{3}}\\{-6＜b＜-2}\end{array}\right.$，得-$\frac{13}{3}$≤b＜-4，
由②t²+bt+4=0有兩個根，滿足t₁=1，t₂＞3，
則1+b+4=0，則b=-5，
此時由t²-5t+4=0得t=1或t=4，滿足t₂＞3，
綜上所述，-$\frac{13}{3}$≤b＜-4或b=-5，
故選：B．

點評 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用換元法轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的情況，利用數(shù)形結(jié)合以及分類討論是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，有一定的難度．