Question

5．設(shè)F（c，0）為雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)，A為右頂點(diǎn)，過F作AF的垂線與雙曲線交于B，C兩點(diǎn)，過B，C分別作AC，AB的垂線，兩垂線交于點(diǎn)D，若D到直線BC的距線離為2（a+c），則該雙曲線的漸近線斜率是（　�。�

• A． ±1
• B． ±$\sqrt{2}$
• C． ±2
• D． ±3

Answer 1

分析 由題意可得D為△ABC的垂心，求得D（-c-2a，0），再由兩直線垂直的條件：斜率之積為-1，計(jì)算即可得到$\sqrt{2}$a=b，由漸近線方程即可得到所求．

解答 解：由題意可得D為△ABC的垂心，
即有AD⊥BC，即D在x軸上，
由D到直線BC的距離為2（a+c），
由2（a+c）=c-x_D，
則D（-c-2a，0），
令x=c，可得y²=b²（$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-1），
解得y=±$\frac{^{2}}{a}$，
可設(shè)B（c，$\frac{^{2}}{a}$），C（c，-$\frac{^{2}}{a}$），
由BD⊥AC，可得k_BD•k_AC=-1，
即$\frac{\frac{^{2}}{a}}{2c+2a}$•$\frac{-\frac{^{2}}{a}}{c-a}$=-1，
化簡可得b²=2a²，即$\frac{a}$=$\sqrt{2}$，
即有雙曲線的漸近線的斜率為±$\sqrt{2}$．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查三角形的垂心的概念，以及兩直線垂直的條件，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．