Question

（本小題滿分12分，（1）小問4分，（2）小問8分）已知為橢圓上兩動點，分別為其左右焦點，直線過點，且不垂直于軸，的周長為，且橢圓的短軸長為．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）已知點為橢圓的左端點，連接并延長交直線于點．求證：直線過定點．

 

Answer 1

（1）；（2）證明詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）結合圖形及橢圓的定義先得到的周長為，進而根據條件列出方程組，從中求解即可得出的值，進而可寫出橢圓的方程；（2）由（1）確定，進而設點，設直線，聯立直線與橢圓的方程，解出點，設直線，可得，進而根據三點共線得出，將點的坐標代入并化簡得到，進而求出點的坐標，，然后寫出直線的方程并化簡得到，從該直線方程不難得到該直線恒通過定點，問題得證.

（1）依題意有：的周長為

所以，則橢圓的方程為 4分

（2）由橢圓方程可知，點

設直線，由得，從而，，即點

同理設直線，可得 7分

由三點共線可得，即，代入兩點坐標化簡可得

9分

直線，可得點，即

從而直線的方程為

化簡得，即，

從而直線過定點 12分.

考點：1.橢圓的標準方程及其幾何性質；2.直線與橢圓的位置關系.