Question

設(shè)函數(shù)，其中向量，．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期和在[0，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間．
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，-4＜f（x）＜4恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）滑進(jìn)函數(shù)f（x）的解析式為 2sin（2x+）+m+1，由此求得周期，令2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，即可得到在[0，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間．
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求得m+2≤f（x）≤m+3，再由-4＜f（x）＜4恒成立，可得  m+2＞-4且 m+3＜4，由此求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．
解答：解：（Ⅰ）函數(shù)=2cos²x+=cos2x++1=2sin（2x+）+m+1．
故函數(shù)f（x）的最小正周期為=π．
令 2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，可得 kπ-≤x≤kπ+，k∈z，故增區(qū)間為[kπ-，kπ+]，k∈z．
故在[0，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間為[0，]、[，π]．
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，≤2x+≤，故有 ≤sin（2x+）≤1，故 m+2≤f（x）≤m+3．
再由-4＜f（x）＜4恒成立，可得  m+2＞-4且 m+3＜4，解得-6＜m＜1，
故實(shí)數(shù)m的取值范圍為（-6，1）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換，三角函數(shù)的周期性及其求法，復(fù)合三角函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，屬于中檔題．