Question

19．已知一個平放的棱長為4的三棱錐內(nèi)有一小球O（重量忽略不計(jì)），現(xiàn)從該三棱錐頂端向內(nèi)注水，小球慢慢上浮，若注入的水的體積是該三棱錐體積的$\frac{7}{8}$時，小球與該三棱錐各側(cè)面均相切（與水面也相切），則球的表面積等于（　�。�

• A． $\frac{7}{6}$π
• B． $\frac{4}{3}$π
• C． $\frac{2}{3}$π
• D． $\frac{1}{2}$π

Answer 1

分析 先求出沒有水的部分的體積是$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，再求出棱長為2，可得小球的半徑，即可求出球的表面積．

解答 解：由題意，沒有水的部分的體積是正四面體體積的$\frac{1}{8}$，
∵正四面體的各棱長均為4，
∴正四面體體積為$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×{4}^{2}×\sqrt{16-\frac{16}{3}}$=$\frac{16\sqrt{2}}{3}$，
∴沒有水的部分的體積是$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
設(shè)其棱長為a，則$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}×\frac{\sqrt{6}}{3}a$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴a=2，
設(shè)小球的半徑為r，則4×$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×{2}^{2}$r=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴r=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴球的表面積S=4$π•\frac{1}{6}$=$\frac{2}{3}π$．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查球的表面積，考查體積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確求出半徑是關(guān)鍵．