Question

18．已知F₁，F(xiàn)₂為雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a，b＞0）$的左右焦點(diǎn)，過F₁的直線l與圓x²+y²=b²相切于點(diǎn)M，且|MF₂|=2|MF₁|，則直線l的斜率是（　�。�

• A． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{7}}}{2}$
• C． $±\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• D． $±\frac{{\sqrt{7}}}{2}$

Answer 1

分析 設(shè)F₁，F(xiàn)₂為（-c，0），（c，0），設(shè)直線l的斜率為k，可得直線l的方程為y=k（x+c），由直線和圓相切可得d=r，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式，以及三角形的勾股定理和中線長(zhǎng)公式，可得b，c的關(guān)系和k的方程，解方程可得斜率k．

解答 解：設(shè)F₁，F(xiàn)₂為（-c，0），（c，0），
設(shè)直線l的斜率為k，可得直線l的方程為y=k（x+c），
由過F₁的直線l與圓x²+y²=b²相切，
可得$\frac{|kc|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=b，
平方可得b²（1+k²）=k²c²，①
在直角三角形OMF₁中，可得|MF₁|=$\sqrt{{c}^{2}-^{2}}$=a，
即有|MF₂|=2|MF₁|=2a，
由OM為三角形MF₁F₂的中線，可得
（2|OM|）²+（|F₁F₂|）²=2（|MF₁|²+|MF₂|²），
即為4b²+4c²=2（a²+4a²），
即有10a²=10（c²-b²）=4b²+4c²，
即有3c²=7b²，
代入①可得，1+k²=$\frac{7}{3}$k²，
解得k=±$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線的斜率的求法，注意運(yùn)用直線和圓相切的條件：d=r，以及平面幾何中三角形的勾股定理和中線長(zhǎng)公式，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．