Question

3．設函數(shù)f（x）的定義域為D，若f（x）滿足條件：存在[a，b]⊆D（a＜b），使f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，則稱為“優(yōu)美函數(shù)”，若函數(shù)$f（x）={log_2}（{4^x}+t）$為“優(yōu)美函數(shù)”，則t的取值范圍是（　�。�

• A． $（\frac{1}{4}，+∞）$
• B． （0，1）
• C． $（0，\frac{1}{2}）$
• D． $（0，\frac{1}{4}）$

Answer 1

分析 由題意得，函數(shù)是增函數(shù)，構(gòu)造出方程組，利用方程組的解都大于0，求出t的取值范圍．

解答 解：$f（x）={log_2}（{4^x}+t）$為增函數(shù)，存在[a，b]⊆D（a＜b），使f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，
則$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}（{4}^{a}+t）=a}\\{lo{g}_{2}（{4}^+t）=b}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{4}^{a}+t={2}^{a}}\\{{4}^+t={2}^}\end{array}\right.$
∴a，b是方程為4^x-2^x+t=0的兩個不等的根，
設2^x=m，
∴m²-m+t=0有兩個不等的實根，且兩根都大于0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{△=1-4t＞0}\\{t＞0}\end{array}\right.$，
解得0＜t$＜\frac{1}{4}$，
故選：D．

點評 本題考察了函數(shù)的值域問題，解題時構(gòu)造函數(shù)，滲透轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．