Question

12．如圖，四棱錐P-ABCD的底面為矩形，PA⊥底面ABCD，E，F分別為AB，PC的中點，AB=$\sqrt{2}$AD．
（Ⅰ）求證：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）求證：DE⊥PC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取PD的中點H，連接AH，FH，運用中位線定理和平行四邊形的判定和性質，結合線面平行的判定定理即可得證；
（Ⅱ）設AD=$\sqrt{2}$，可得AB=2，AE=1，在直角三角形ABC和ADE中，證得tan∠BAC•tan∠AED=1，可得∠BAC+∠AED=90°，則AC⊥DE，再由線面垂直的判定定理和性質定理，即可得證．

解答 證明：（Ⅰ）取PD的中點H，連接AH，FH，
由HF為△PCD的中位線，
可得HF∥CD，HF=$\frac{1}{2}$CD，
AE∥CD，AE=$\frac{1}{2}$CD，
即有AE∥HF，AE=FH，
可得四邊形AEHF為平行四邊形，
即有EF∥AH，EF?平面PAD，AH?平面PAD，
則EF∥平面PAD；
（Ⅱ）設AD=$\sqrt{2}$，可得AB=2，AE=1，
在直角三角形ABC中，tan∠BAC=$\frac{BC}{AB}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
在直角三角形ADE中，tan∠AED=$\frac{AD}{AE}$=$\sqrt{2}$，
由tan∠BAC•tan∠AED=1，
可得∠BAC+∠AED=90°，
則AC⊥DE，
由PA⊥底面ABCD，
可得PA⊥DE，
PA∩AC=A，
則DE⊥平面PAC，
由PC?平面PAC，
可得DE⊥PC．

點評 本題考查線面平行的判定，注意運用平行四邊形的判定和性質，考查線線垂直的判定，注意運用三角函數中誘導公式，以及線面垂直的判定和性質，考查空間想象能力和推理能力，屬于中檔題．