Question

15．函數(shù)g（x）=f（x）+2x，x∈R為奇函數(shù)．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）若x＞0時，f（x）=log₃x，求函數(shù)g（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)g（x）=f（x）+2x（x∈R）為奇函數(shù)，g（-x）=f（-x）-2x=-g（x）=-f（x）-2x，可得f（-x）=-f（x），即可判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）若x＞0時，f（x）=log₃x，求出x＜0，x=0時的解析式，即可求函數(shù)g（x）的解析式．

解答 解：（1）任給x∈R，f（x）=g（x）-2xf（-x）=g（-x）+2x…（2分）
因為g（x）為奇函數(shù)，所以g（-x）=-g（x），
所以f（-x）=-g（x）+2x=-f（x），
所以f（x）為奇函數(shù)；
（2）當x＞0時，g（x）=log₃x+2x             …（7分）
當x＜0時，-x＞0，所以g（-x）=log₃（-x）-2x
因為 g（x）為奇函數(shù)
所以 g（x）=-g（-x）=-[log₃（-x）-2x]=2x-log₃（-x）…（10分）
又因為奇函數(shù)g（0）=0…（11分）
所以g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x-lo{g}_{3}（-x），x＜0}\\{0，x=0}\\{2x+lo{g}_{3}x，x＞0}\end{array}\right.$…（12分）

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性，函數(shù)解析式的確定，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．