Question

14．已知函數(shù)f（x）=|x-a|+2|x+b|（a＞0，b＞0）的最小值為1．
（1）求a+b的值；
（2）若$m≤\frac{1}{a}+\frac{2}$恒成立，求實數(shù)m的最大值．

Answer 1

分析 （1）寫出分段函數(shù)，得出f（x）_min=a+b，即可求a+b的值；
（2）因為a＞0，b＞0，且a+b=1，利用“1”的代換，求最值，根據(jù)$m≤\frac{1}{a}+\frac{2}$恒成立，求實數(shù)m的最大值．

解答 解：（1）$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-3x+a-2b，x≤-b\\ x+a+2b，-b＜x＜a\\ 3x-a+2b，x≥a.\end{array}\right.$
f（x）在區(qū)間（-∞，-b]上遞減，在區(qū)間[-b，+∞）上遞增，
所以f（x）_min=a+b．
所以a+b=1．
（2）因為a＞0，b＞0，且a+b=1，
所以$\frac{1}{a}+\frac{2}=（{a+b}）（{\frac{1}{a}+\frac{2}}）=3+\frac{a}+\frac{2a}$，
又因為$3+\frac{a}+\frac{2a}≥3+2\sqrt{\frac{a}•\frac{2a}}$，當且僅當$\frac{a}=\frac{2a}$時，等號成立，
所以$a=\sqrt{2}-1，b=2-\sqrt{2}$時，$\frac{1}{a}+\frac{2}$有最小值$3+2\sqrt{2}$．
所以$m≤3+2\sqrt{2}$，所以實數(shù)m的最大值為$3+2\sqrt{2}$．

點評 本題考查絕對值函數(shù)，考查基本不等式的運用，正確轉(zhuǎn)化是關鍵．