Question

已知f（x）=

1

2x-1

+a是奇函數(shù)，求a的值及函數(shù)值域．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意可得f（-1）+f（1）=0，可得a值，再由定義域和反比例函數(shù)以及不等式的性質(zhì)可得函數(shù)的值域．

解答： 解：由2^x-1=≠0可得x≠0，可得函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠0}，
∵f（x）=

1

2x-1

+a是奇函數(shù)，∴f（-1）+f（1）=0，
∴

1

2-1-1

+a+

1

21-1

+a=0，解得a=

1

2

，
∴f（x）=

1

2x-1

+

1

2

，
∵x≠0，∴2^x＞0且2^x≠1，
∴2^x-1＞-1且2^x-1≠0，
∴

1

2x-1

＞0或

1

2x-1

＜-1，
∴

1

2x-1

+

1

2

＞

1

2

或

1

2x-1

+

1

2

＜-

1

2

，
∴函數(shù)的值域?yàn)椋?∞，-

1

2

）∪（

1

2

，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的值域，屬基礎(chǔ)題．