Question

設(shè)函數(shù)．

（1）當（為自然對數(shù)的底數(shù)）時，求的最小值；

（2）討論函數(shù)零點的個數(shù)；

（3）若對任意恒成立，求的取值范圍．

 

Answer 1

（1）；（2）當時，函數(shù)無零點；當或時，函數(shù)有且只有一個零點；當時，函數(shù)有兩個零點；（3）

【解析】

試題分析：（1）當時，，令，得，將定義域分段并研究導函數(shù)在每段的符號，判斷函數(shù)大致圖象，進而求得最小值；（2）由已知得則，進而把問題轉(zhuǎn)化為判斷函數(shù)圖象與軸交點的個數(shù)問題，或者參變分離為利用導數(shù)研究函數(shù)的形狀，研究直線與其交點個數(shù)問題即可；（3）通過對不等式恒等變形，研究其蘊含的數(shù)學本質(zhì)，變形為，觀察其結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造函數(shù)，則函數(shù)在單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化為恒成立問題處理．

試題解析：（1）由題設(shè)，當時，，則， 1分

∴當在上單調(diào)遞減，

當，在（）上單調(diào)遞增， 2分

∴時，取得極小值

∴的極小值為2． 3分

（2）由題設(shè)

令，得 4分

設(shè)

則 5分

當時，在上單調(diào)遞增；

當時，在上單調(diào)遞減。 6分

∴是的唯一極值點，且是極大直點，因此也是的最大值點，

∴的最大值為 7分

又，結(jié)合的圖像，可知

①當時，函數(shù)無零點；

②當時，函數(shù)有且只有一個零點；

③當時，函數(shù)有兩個零點；

④當時，函數(shù)有且只有一個零點。 8分

綜上所述，當時，函數(shù)無零點；

當或時，函數(shù)有且只有一個零點；

當時，函數(shù)有兩個零點； 9分

（3）對任意的恒成立，

等價于恒成立（*） 10分

設(shè)

∴（*）等價于在上單調(diào)遞減． 11分

由在恒成立． 12分

得恒成立， 13分

∴僅在時成立），

∴的取值范圍是 14分

考點：1、利用導數(shù)求函數(shù)的最值、極值；2、函數(shù)的零點；3、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．