Question

20．已知定點A（2，0），圓x²+y²=1上有一個動點Q，若AQ的中點為P．
（1）求動點P的軌跡方程；
（2）設(shè)P的軌跡為曲線C，過點$B（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$作曲線C的切線，求切線方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出動點P、Q的坐標(biāo)，利用線段AQ的中點為點P，確定坐標(biāo)之間的關(guān)系，利用Q是圓x²+y²=1上的動點，即可求得方程，從而可得動點P的軌跡方程．
（2）分類討論，利用圓心到直線的距離等于半徑，即可求切線方程．

解答 解：（1）設(shè)P的坐標(biāo)為（x，y），Q（a，b），則
∵定點A為（2，0），線段AQ的中點為點P，
∴2x=2+a，2y=b，
∴a=2x-2，b=2y
∵Q是圓x²+y²=1上的動點
∴a²+b²=1
∴（2x-2）²+（2y）²=1
∴（x-1）²+y²=$\frac{1}{4}$；
（2）斜率不存在時，方程x=$\frac{1}{2}$滿足題意；
斜率存在時，設(shè)方程為y-$\frac{1}{2}$=k（x-$\frac{1}{2}$），即kx-y-$\frac{1}{2}$k+$\frac{1}{2}$=0，
圓心到直線的距離d=$\frac{|\frac{1}{2}k+\frac{1}{2}|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{1}{2}$，∴k=0，方程為y=$\frac{1}{2}$，
綜上所述，切線方程為x=$\frac{1}{2}$或y=$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查軌跡方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查代入法的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．