Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q為AD中點(diǎn)，M是棱PC上的點(diǎn)，PD=PA=2，BC=

1

2

AD=1，CD=

3

．
（1）若點(diǎn)M是棱PC的中點(diǎn)，求證：PA∥平面BMQ；
（2）求證：平面PQB⊥底面PAD；
（3）（僅理科做）若PM=3MC，求二面角M-BQ-C的大�。�

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法,直線與平面平行的判定,平面與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）本小題是一個(gè)證明線面平行的題，一般借助線面平行的判定定理求解，如圖連接AC，交BQ于N，連接MN，先證明MN∥PA，再由線面平行的判定理證明線面平行；
（2）本小題是一個(gè)證明面面垂直的題，可采用面面垂直的定義求二面角是直角，或者用面面垂直的判定理證明，由題設(shè)條件知，利用面面垂直的判定定理證明較易，觀察圖形與題設(shè)條件，法一：可通過證明BQ⊥平面PAD來證明面面垂直；
（3）連結(jié)BD，以Q為坐標(biāo)原點(diǎn)，QA，QB，QP分別為x軸y軸z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面BMQ和BCQ的法向量，代入向量夾角公式，可得答案．

解答： 解：（1）連接AC，交BQ于N，連接MN．     …（1分）
∵BC∥AD且BC=

1

2

AD，即BC平行且等于AQ，
∴四邊形BCQA為平行四邊形，且N為AC中點(diǎn)，
又∵點(diǎn)M在是棱PC的中點(diǎn)，
∴MN∥PA．…（2分）
∵M(jìn)N?平面MQB，PA?平面MQB，…（3分）
∴PA∥平面MBQ． …（4分）
（2）∵AD∥BC，BC=

1

2

AD，Q為AD的中點(diǎn)，
∴四邊形BCDQ為平行四邊形，∴CD∥BQ．…（6分）
∵∠ADC=90°∴∠AQB=90°  即QB⊥AD．
又∵平面PAD⊥平面ABCD
且平面PAD∩平面ABCD=AD，…（7分）
∴BQ⊥平面PAD．         …（8分）
∵BQ?平面PQB，
∴平面PQB⊥平面PAD．   …（9分）
（3）連結(jié)BD，∵底面ABCD是菱形，且∠BAD=60°，
∴△BAD是等邊三角形，
∴BQ⊥AD由（Ⅰ）PQ⊥平面ABCD．
∴PQ⊥AD．
以Q為坐標(biāo)原點(diǎn)，QA，QB，QP分別為x軸y軸z軸建立空間直角坐標(biāo)系

則Q（0，0，0），A（1，0，0），B（0，

3

，0），P（0，0，

3

）．
設(shè)平面BMQ的法向量

m

=（x，y，z）為，
注意到MN∥PA，∴

m • QB =0 m • PA =0

，
解得

m

=（

3

，0，1）是平面BMQ的一個(gè)法向量
又∵平面BCQ的法向量為

n

=

QP

=（0，0，

3

）
故二面角M-BQ-C的平面角θ滿足：cosθ=

| m • n |

| m || n |

=

1

2

，
故θ=

π

3

，
即二面角M-BQ-C的平面角為

π

3

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查面面垂直的證明方法以及線面平行的證明，考查面面角，解題的關(guān)鍵是利用線面平行的判定，理解面面角的定義，屬于中檔題．