Question

若不等式x²+3x＞ax-4對于滿足0≤x≤1的實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：x=0時容易得到對于a∈R滿足原不等式成立，x≠0時，即0＜x≤1，由原不等式得a＜x+

4

x

+3，令f（x）=x+

4

x

+3，通過求f′（x），根據(jù)f′（x）的符號可判斷出函數(shù)在（0，1]上是減函數(shù)，所以f（1）=8是f（x）的最小值，所以a＜8．

解答： 解：①x=0時，原不等式變成0＞-4，該不等式成立，此時a∈R；
②x≠0時，由原不等式得：a＜x+

4

x

+3；
(x+

4

x

+3)′=1-

4

x2

=

x2-4

x2

，∵0＜x≤1，∴x²-4＜0，(x+

4

x

+3)′＜0；
∴函數(shù)x+

4

x

+3在（0，1]上單調(diào)遞減，所以x=1時，該函數(shù)在（0，1]上取最小值8；
∴a＜8；
綜上得a的取值范圍是（-∞，8）．
故答案為：（-∞，8）．

點評：考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)的最小值．