Question

1．在直角坐標(biāo)系xoy中，已知點P（0，$\sqrt{3}$），曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosφ}\\{y=2sinφ}\end{array}\right.$（φ為參數(shù)）．以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρ=$\frac{\sqrt{3}}{2cos（θ-\frac{π}{6}）}$．
（Ⅰ）判斷點P與直線l的位置關(guān)系并說明理由；
（Ⅱ）設(shè)直線l與曲線C的兩個交點分別為A，B，求$\frac{1}{|PA|}$+$\frac{1}{|PB|}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）點P在直線l上，理由如下：直線l：ρ=$\frac{\sqrt{3}}{2cos（θ-\frac{π}{6}）}$，展開可得$\sqrt{3}ρcosθ+ρsinθ$=$\sqrt{3}$，可得直線l的直角坐標(biāo)方程即可驗證．
（Ⅱ）由題意，可得直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），曲線C的普通方程為$\frac{{y}^{2}}{4}+\frac{{x}^{2}}{2}$=1．將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的普通方程，得5t²+12t-4=0，可得|PA|+|PB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$，即可得出．

解答 解：（Ⅰ）點P在直線l上，理由如下：
直線l：ρ=$\frac{\sqrt{3}}{2cos（θ-\frac{π}{6}）}$，即$2cos（θ-\frac{π}{6}）$=$\sqrt{3}$，亦即$\sqrt{3}ρcosθ+ρsinθ$=$\sqrt{3}$，
∴直線l的直角坐標(biāo)方程為：$\sqrt{3}$x+y=$\sqrt{3}$，易知點P在直線l上．
（Ⅱ）由題意，可得直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），曲線C的普通方程為$\frac{{y}^{2}}{4}+\frac{{x}^{2}}{2}$=1．
將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的普通方程，得5t²+12t-4=0，
設(shè)兩根為t₁，t₂，
∴t₁+t₂=-$\frac{12}{5}$，t₁•t₂=-$\frac{4}{5}$，
∴|PA|+|PB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\frac{4\sqrt{14}}{5}$，
∴$\frac{1}{|PA|}$+$\frac{1}{|PB|}$=$\frac{|PA|+|PB|}{|PA|•|PB|}$=$\frac{\frac{4\sqrt{14}}{5}}{|-\frac{4}{5}|}$=$\sqrt{14}$．

點評 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為普通方程及其應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．