Question

11．已知△ABC的面積為1，∠A的平分線交對邊BC于D，AB=2AC，且AD=kAC，k∈R，則當(dāng)k=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$時，邊BC的長度最短．

Answer 1

分析 由題意，$\frac{1}{2}•2a•a•sinA$=1，sinA=$\frac{1}{{a}^{2}}$，求BC最短時k的值，考慮A為銳角或直角時即可，求出BC，利用導(dǎo)數(shù)知識，即可求解．

解答 解：由題意，$\frac{1}{2}•2a•a•sinA$=1，∴sinA=$\frac{1}{{a}^{2}}$，
求BC最短時k的值，考慮A為銳角或直角時即可，∴cosA=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-1}}{{a}^{2}}$，
∴由余弦定理可得BC²=5a²-4$\sqrt{{a}^{4}-1}$，
設(shè)a²=t＞0，則f（t）=5t-4$\sqrt{{t}^{2}-1}$，
f′（t）=5-$\frac{4t}{\sqrt{{t}^{2}-1}}$，
t＞$\frac{5}{3}$，f′（t）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，0＜t＜$\frac{5}{3}$，f′（t）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，
∴t=$\frac{5}{3}$時，函數(shù)f（t）取得最小值，即BC=$\sqrt{3}$，
∴cosA=$\frac{4}{5}$=2cos²∠CAD-1，∴cos∠CAD=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴k=$\frac{4}{3}$cos∠CAD=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查余弦定理的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)知識，考查學(xué)生分析解決問題的能力，難度大．