Question

1．函數(shù)y=$\sqrt{x}$+$\sqrt{2-x}$的最大值為2．

Answer 1

分析 由$\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}$≥（$\frac{a+b}{2}$）²，即有a+b≤$\sqrt{2（{a}^{2}+^{2}）}$，即可得到所求函數(shù)的最大值．

解答 解：當a≥0，b≥0，$\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}$-（$\frac{a+b}{2}$）²=$\frac{2{a}^{2}+2^{2}-{a}^{2}-^{2}-2ab}{4}$
=$\frac{（a-b）^{2}}{4}$≥0，
可得$\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}$≥（$\frac{a+b}{2}$）²，即有a+b≤$\sqrt{2（{a}^{2}+^{2}）}$，
當且僅當a=b時，取得等號．
則有y=$\sqrt{x}$+$\sqrt{2-x}$≤$\sqrt{2（x+2-x）}$=2，
當且僅當x=1時，取得最大值2．
故答案為：2．

點評 本題考查函數(shù)的最值的求法，注意運用重要不等式$\frac{{a}^{2}+^{2}}{2}$≥（$\frac{a+b}{2}$）²，考查運算能力，屬于中檔題．