Question

19．各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}滿足a₃、a₅、a₆成等差數(shù)列，則$\frac{{{a_3}+{a_5}}}{{{a_4}+{a_6}}}$=1或$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

Answer 1

分析 由等比數(shù)列的通項公式和等差數(shù)列性質(zhì)，得q=1或q=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，再由$\frac{{{a_3}+{a_5}}}{{{a_4}+{a_6}}}$=$\frac{{a}_{1}{q}^{2}+{a}_{1}{q}^{4}}{{a}_{1}{q}^{3}+{a}_{1}{q}^{5}}$=$\frac{1}{q}$，能求出結(jié)果．

解答 解：∵各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}滿足a₃、a₅、a₆成等差數(shù)列，
∴2a₅=a₃+a₆，即2${a}_{1}{q}^{4}$=${a}_{1}{q}^{2}+{a}_{1}{q}^{5}$，
整理，得q³-2q²+1=0，即（q-1）（q²-q-1）=0，
由q＞0，解得q=1或q=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，
∴$\frac{{{a_3}+{a_5}}}{{{a_4}+{a_6}}}$=$\frac{{a}_{1}{q}^{2}+{a}_{1}{q}^{4}}{{a}_{1}{q}^{3}+{a}_{1}{q}^{5}}$=$\frac{1}{q}$，
∴當q=1時，$\frac{{{a_3}+{a_5}}}{{{a_4}+{a_6}}}$=1；當q=$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$時，$\frac{2}{1+\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
故答案為：1或$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

點評 本題考查等比數(shù)列中兩項和的比值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等比數(shù)列和等差數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．