Question

橢圓與直線y=x+1交于P，Q兩點 且，a²+b²=2a²b²．求橢圓方程．

Answer 1

解：把直線y=x+1代入橢圓，
得b²x²+a²（x+1）²=a²b²，
∴（a²+b²）x²+2a²x+a²=a²b²，
∵a²+b²=2a²b²，
∴2a²b²x²+2a²x+a²=a²b²，
∴2b²x²+2x+1-b²=0，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
則，k=1，
∴|PQ|=
=
=，
解得b²=2或．
當(dāng)b²=2時，由a²+b²=2a²b²，解得a²=（舍）
當(dāng)時，由a²+b²=2a²b²，解得a²=2．
∴橢圓方程為：．
分析：把直線y=x+1代入橢圓，得b²x²+a²（x+1）²=a²b²，所以（a²+b²）x²+2a²x+a²=a²b²，由a²+b²=2a²b²，得2b²x²+2x+1-b²=0，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則，k=1，故|PQ|==，由此能求出橢圓方程．
點評：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．