【答案】
分析:把直線y=x+1代入橢圓
,得b
2x
2+a
2(x+1)
2=a
2b
2,所以(a
2+b
2)x
2+2a
2x+a
2=a
2b
2,由a
2+b
2=2a
2b
2,得2b
2x
2+2x+1-b
2=0,設P(x
1,y
1),Q(x
2,y
2),則
,k=1,故|PQ|=
=
,由此能求出橢圓方程.
解答:解:把直線y=x+1代入橢圓
,
得b
2x
2+a
2(x+1)
2=a
2b
2,
∴(a
2+b
2)x
2+2a
2x+a
2=a
2b
2,
∵a
2+b
2=2a
2b
2,
∴2a
2b
2x
2+2a
2x+a
2=a
2b
2,
∴2b
2x
2+2x+1-b
2=0,
設P(x
1,y
1),Q(x
2,y
2),
則
,k=1,
∴|PQ|=
=
=
,
解得b
2=2或
.
當b
2=2時,由a
2+b
2=2a
2b
2,解得a
2=
(舍)
當
時,由a
2+b
2=2a
2b
2,解得a
2=2.
∴橢圓方程為:
.
點評:本題考查直線與橢圓的位置關系,考查運算求解能力,推理論證能力;考查化歸與轉化思想.對數(shù)學思維的要求比較高,有一定的探索性.綜合性強,難度大,是高考的重點.解題時要認真審題,仔細解答.