Question

1．已知f（x）=$\frac{{-2}^{x}+b}{{2}^{x+1}+a}$是定義域為R的奇函數(shù)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求出函數(shù)f（x）的增減性．

Answer 1

分析 （1）由f（x）是定義域為R的奇函數(shù)，從而可以得到$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=0}\\{f（-1）=-f（1）}\end{array}\right.$，帶入解析式便可得到$\left\{\begin{array}{l}{\frac{-1+b}{2+a}=0}\\{\frac{-\frac{1}{2}+b}{1+a}=-\frac{-2+b}{4+a}}\end{array}\right.$，這樣便可解出a=2，b=1，從而便可得出f（x）的解析式；
（2）先分離常數(shù)得到$f（x）=-\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{x}+1}$，可根據(jù)單調(diào)性的定義判斷該函數(shù)的單調(diào)性：設(shè)任意的x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，然后作差，通分，從而判斷出f（x₁）與f（x₂）的大小關(guān)系，便可得出f（x）的增減性．

解答 解：（1）f（x）是定義在R上的奇函數(shù)；
∴f（0）=0，且f（-1）=-f（1）；
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{-1+b}{2+a}=0}\\{\frac{-\frac{1}{2}+b}{1+a}=-\frac{-2+b}{4+a}}\end{array}\right.$；
解得b=1，a=2；
∴$f（x）=\frac{1-{2}^{x}}{{2}^{x+1}+2}$；
（2）$f（x）=\frac{1-{2}^{x}}{{2}^{x+1}+2}=\frac{-（{2}^{x}+1）+2}{2（{2}^{x}+1）}$=$-\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{x}+1}$；
設(shè)x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則：
$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=\frac{1}{{2}^{{x}_{1}}+1}-\frac{1}{{2}^{{x}_{2}}+1}$=$\frac{{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$；
∵x₁＜x₂；
∴${2}^{{x}_{1}}＜{2}^{{x}_{2}}$；
∴${2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}＞0$；
又${2}^{{x}_{1}}+1＞0，{2}^{{x}_{2}}+1＞0$；
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在R上單調(diào)遞減．

點評 考查奇函數(shù)的定義，奇函數(shù)f（x）在原點有定義時有f（0）=0，分離常數(shù)法的運用，以及函數(shù)單調(diào)性的定義，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義判斷一個函數(shù)單調(diào)性的方法和過程，作差的方法比較f（x₁）與f（x₂），作差后是分式的一般要通分．