Question

13．如圖，M，N分別是?ABCD的邊AD，CD的中點，點E，F(xiàn)是對角線AC的三等分點．求證：B，E，M三點共線，且B，F(xiàn)，N三點共線．

Answer 1

分析 ?ABCD中，用向量$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AB}$表示出$\overrightarrow{BM}$、$\overrightarrow{BE}$與$\overrightarrow{EM}$，證明$\overrightarrow{BE}$+$\overrightarrow{EM}$=$\overrightarrow{BE}$，即證B，E，M三點共線，同理可證B，F(xiàn)，N三點共線．

解答 解：?ABCD中，M是邊AD的中點，E，F(xiàn)是對角線AC的三等分點，
∴$\overrightarrow{AM}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{AE}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{AB}$）；
∴$\overrightarrow{BM}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AB}$，
$\overrightarrow{BE}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{AB}$）-$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AD}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{AB}$，
$\overrightarrow{EM}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$-$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{AD}$+$\overrightarrow{AB}$）=$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{AD}$-$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$；
∴$\overrightarrow{BE}$+$\overrightarrow{EM}$=（$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{6}$）$\overrightarrow{AD}$-（$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{3}$）$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{BE}$，
∴B，E，M三點共線，
同理可證：B，F(xiàn)，N三點共線．

點評 本題考查了用平面向量證明三點共線的應用問題，解題時應利用平面向量共線去證明，是基礎題目．