Question

設函數(shù)f（x）=

ex， x≤0 lnx， x＞0

，若對任意給定的a∈（1，+∞），都存在唯一的x∈R，滿足f（f（x））=ma²+2m²a，則正實數(shù)m的最小值是（　�。�

• A、

  1

  2

• B、1
• C、

  3

  2

• D、2

Answer 1

考點：函數(shù)與方程的綜合運用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：討論x的取值，求出f（（x））：0＜x≤1時，f（f（x））=x≤1，x＞1時，f（f（x））=ln（lnx）∈R，則要滿足對任意給定的a∈（1，+∞），都存在唯一的x∈R，滿足f（f（x））=ma²+2m²a，需要ma²+2m²a＞1，因為a＞1，所以只需m+2m²≥1，解該不等式即可得m的最小值．

解答： 解：由已知條件知：ma²+2m²a＞0；
∴若x≤0，則f（x）=e^x＞0，∴f（f（x））=lne^x=x≤0，∴這種情況不存在；
若0＜x≤1，則f（x）=lnx≤0，∴f（f（x））=e^lnx=x≤1，x＞1時，f（x）=lnx＞0，f（f（x）=ln（lnx）∈R；
∴只有f（f（x））＞1，即ma²+2m²a＞1時，對任意給定的a∈（1，+∞），都存在唯一的x∈R，滿足f（f（x））=ma²+2m²a；
∵a∈（1，+∞），∴m+2m²≥1，即2m²+m-1≥0，∵m＞0，∴解得m≥

1

2

；
∴正實數(shù)m的最小值是

1

2

．
故選A．

點評：考查根據(jù)分段函數(shù)求在某一區(qū)間上的函數(shù)解析式及復合函數(shù)解析式，解一元二次不等式．