Question

16．設(shè)函數(shù)f（x）=（x+1）lnx-a（x-1）．
（1）若函數(shù)f（x）在x=e處的切線與y軸相交于點（0，2-e），求a的值；
（2）當(dāng)1＜x＜2時，求證：$\frac{2}{x-1}$＞$\frac{1}{lnx}$-$\frac{1}{ln（2-x）}$．

Answer 1

分析 （1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出函的切線斜率，即可求得a的值；
（2）a=2時，f（x）=（x+1）lnx-2（x-1），得到f（x）在（1，2）上是增函數(shù)，可知（x+1）lnx＞2（x-1），即$\frac{1}{lnx}$＜$\frac{x+1}{2（x-1）}$利用函數(shù)的單調(diào)性，求得-$\frac{1}{ln（2-x）}$＜$\frac{3-x}{2（x-1）}$，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的運算即可證明不等式成立．

解答 解：（1）f′（x）=lnx+$\frac{1}{x}$+1-a，x∈（0，+∞）
由題意可知：$\frac{f（e）-f（2-e）}{e-0}$=f′（e），
整理得：e+1-a（e-1）-（2-e）=e（1+$\frac{1}{e}$+1-a），解得a=2；
證明：（2）當(dāng)a=2時，f（x）=（x+1）lnx-2（x-1），
f′（x）=lnx+$\frac{1}{x}$-1，f″（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$＞0，
∴f′（x）在（1，2）遞增，∴f′（x）＞f′（1）=0，
∴f（x）在（1，2）上是增函數(shù)，
∴f（x）＞f（1）=0，即（x+1）lnx＞2（x-1），
∴$\frac{1}{lnx}$＜$\frac{x+1}{2（x-1）}$，①
∵1＜x＜2，
∴0＜2-a＜1，$\frac{1}{2-x}$＞1，
∴$\frac{1}{ln\frac{1}{2-x}}$＜$\frac{\frac{1}{2-x}+1}{2（\frac{1}{2-x}-1）}$=$\frac{3-x}{2（x-1）}$，
即-$\frac{1}{ln（2-x）}$＜$\frac{3-x}{2（x-1）}$，②
①+②得：$\frac{1}{lnx}$-$\frac{1}{ln（2-x）}$＜$\frac{x+1}{2（x-1）}$+$\frac{3-x}{2（x-1）}$=$\frac{2}{x-1}$，
∴原式成立．

點評 本題考查運用導(dǎo)數(shù)思想求切線的斜率、單調(diào)區(qū)間和極值，同時考查構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，運用單調(diào)性證明不等式，屬于中檔題．