Question

已知函數f（x）=2

3

sinxcosx+2cos²x-1（x∈R）
（1）求函數f（x）的最小正周期；
（2）若?x∈[0，

π

2

]，都有f（x）-c≤0，求實數c的取值范圍．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數,三角函數的周期性及其求法

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（1）函數f（x）=2

3

sinxcosx+2cos²x-1可化簡為2sin（2x+

π

6

），從而可求函數f（x）的最小正周期；
（2）先求得f（x）=2sin（2x+

π

6

）在區(qū)間[0，

π

6

]上為增函數，在區(qū)間[

π

6

，

π

2

]上為減函數，f（0）=1，f（

π

6

）=2，f（

π

2

）=-1，所以函數f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值為2，從而可求實數c的取值范圍．

解答： 解：（1）由f（x）=2

3

sinxcosx+2cos²x-1，得
f（x）=

3

（2sinxcosx）+（2cos²x-1）=

3

sin2x+cos2x=2sin（2x+

π

6

），
所以函數f（x）的最小正周期為π．
（2）因為f（x）=2sin（2x+

π

6

）在區(qū)間[0，

π

6

]上為增函數，在區(qū)間[

π

6

，

π

2

]上為減函數，
又f（0）=1，f（

π

6

）=2，f（

π

2

）=-1，
所以函數f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上的最大值為2，最小值為-1，
故c≥f（x）_max=2．

點評：本題主要考察兩角和與差的正弦函數和三角函數的周期性及其求法，屬于中檔題．