Question

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求曲線和直線在該直角坐標(biāo)系下的普通方程；

（2）動(dòng)點(diǎn)在曲線上，動(dòng)點(diǎn)在直線上，定點(diǎn)的坐標(biāo)為，求的最小值.

Answer 1

【答案】(1) 曲線的普通方程為；直線的方程是.

(2) .

【解析】

試題分析：（1）消去參數(shù)，根據(jù)三角函數(shù)的基本關(guān)系式，即可得到曲線的普通方程；利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系得到直線的普通方程；（2）求出點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，則的最小為到圓心的距離減去曲線的半徑．

試題解析：（1）由曲線的參數(shù)方程可得，

所以曲線的普通方程為．

由直線的極坐標(biāo)方程：，可得，即．

（2）設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，有：，解得：

由（1）知，曲線為圓，圓心坐標(biāo)為，故

．

當(dāng)四點(diǎn)共線時(shí)，且在之間時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為．