【題目】已知定義在R上的奇函數(shù)
(1)求實(shí)數(shù)的值;
(2)判斷的單調(diào)性,并證明.
(3)若對(duì)任意的,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1) m=1 (2)見解析(3)
【解析】
(1)由定義在實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)有f(0)=0列式求解,或直接由奇函數(shù)的定義得恒等式,由系數(shù)相等求解b的值;
(2)直接利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明;
(3)由函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性,把給出的不等式轉(zhuǎn)化為含有t的一元二次不等式,分離變量k后求二次函數(shù)的最值,則答案可求.
(1)解:法一、∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù),∴,∴m=1,經(jīng)檢驗(yàn),函數(shù)為奇函數(shù);
法二、由是奇函數(shù),則
∴即對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立,
∴m=1;
(2)由(1)知,f(x)在R上是減函數(shù).
證明:設(shè)x1,x2為R上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù),且x1<x2,
則
.
∵x1<x2,∴,,,
∴f(x1)﹣f(x2)>0,
即f(x1)>f(x2),
∴f(x)在R上是減函數(shù);
(3)∵f(x)既是奇函數(shù),又是實(shí)數(shù)集上的減函數(shù),
∴不等式f(t﹣2t2)>f(t2﹣t﹣k)3t2﹣2t>k,
∴對(duì)t∈R恒成立,
∴.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,直線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求曲線和直線在該直角坐標(biāo)系下的普通方程;
(2)動(dòng)點(diǎn)在曲線上,動(dòng)點(diǎn)在直線上,定點(diǎn)的坐標(biāo)為,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,四邊形為正方形, 平面, , 是上一點(diǎn),且.
(1)求證: 平面;
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】口袋里共有4個(gè)球,其中有2個(gè)是白球,2個(gè)是黑球,這4個(gè)球除顏色外完全相同。4個(gè)人按順序依次從中摸出一個(gè)球(不放回),試計(jì)算第二個(gè)人摸到白球的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是正方形,AC與BD交于點(diǎn)O,PC⊥底面ABCD, 點(diǎn)E為側(cè)棱PB的中點(diǎn).
求證:(1) PD∥平面ACE;
(2) 平面PAC⊥平面PBD.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校高一的320名學(xué)生,在電腦培訓(xùn)前后分別參加了一次水平相同的測試,考分都以統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)劃分成“不合格”“合格”“優(yōu)秀”三個(gè)等級(jí).為了了解電腦培訓(xùn)的效果,用抽簽方式得到其中32名學(xué)生的兩次考分等級(jí),所繪制的統(tǒng)計(jì)圖如圖所示.請(qǐng)結(jié)合圖中信息回答下列問題:
(1)這32名學(xué)生經(jīng)過培訓(xùn),考分等級(jí)“不合格”的百分比由________下降到________;
(2)估計(jì)該校高一全體學(xué)生中,培訓(xùn)后考分等級(jí)為“合格”和“優(yōu)秀”的學(xué)生共有________名.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某股票在30天內(nèi)每股的交易價(jià)格(元)與時(shí)間(天)組成有序數(shù)對(duì),點(diǎn)落在如圖所示的兩條線段上,該股票在30天內(nèi)的日交易量(萬股)與時(shí)間(天)的部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示:
(1)根據(jù)提供的圖象,寫出該股票每股的交易價(jià)格與時(shí)間所滿足的函數(shù)關(guān)系式;
(2)根據(jù)表中數(shù)據(jù)確定日交易量與時(shí)間的一次函數(shù)關(guān)系式;
(3)在(1)(2)的結(jié)論下,若該股票的日交易額為(萬元),寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,并求在這30天中第幾天的交易額最大,最大是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了了解高三學(xué)生的心理健康狀況,某校心理健康咨詢中心對(duì)該校高三學(xué)生的睡眠狀況進(jìn)行抽樣調(diào)查,隨機(jī)抽取了50名男生和50名女生,統(tǒng)計(jì)了他們進(jìn)入高三后的第一個(gè)月平均每天睡眠時(shí)間,得到如下頻數(shù)分布表.規(guī)定:“平均每天睡眠時(shí)間大于等于8小時(shí)”為“睡眠充足”,“平均每天睡眠時(shí)間小于8小時(shí)”為“睡眠不足”.
高三學(xué)生平均每天睡眠時(shí)間頻數(shù)分布表
睡眠時(shí)間(小時(shí)) | [5,6) | [6,7) | [7,8) | [8,9) | [9,10) |
男生(人) | 4 | 18 | 10 | 12 | 6 |
女生(人) | 2 | 20 | 16 | 8 | 4 |
(Ⅰ)請(qǐng)將下面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整:
睡眠充足 | 睡眠不足 | 合計(jì) | |
男生(人) | 32 | ||
女生(人) | 12 | ||
總計(jì) | 100 |
(Ⅱ)根據(jù)已完成的2×2列聯(lián)表,判斷是否有90%的把握認(rèn)為“睡是否充足與性別有關(guān)”?
附:參考公式=
P(K2≥k) | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 2.706 | 3.841 | 6.636 | 10.828 |
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