Question

已知三棱錐S-ABC中，SA⊥面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，BC=

2

，則此三棱錐外接球的體積為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：球的體積和表面積

專題：計算題,空間位置關(guān)系與距離

分析：根據(jù)題意，證出BC⊥平面SAB，可得BC⊥SB，得Rt△BSC的中線OB=

1

2

SC，同理得到OA=

1

2

SC，因此O是三棱錐S-ABC的外接球心．利用勾股定理結(jié)合題中數(shù)據(jù)算出SC=2，得外接球半徑R=1，從而得到所求外接球的體積．

解答： 解：取SC的中點(diǎn)O，連結(jié)OA、OB
∵SA⊥平面ABC，AC?平面ABC，
∴SA⊥AC，可得Rt△ASC中，中線OA=

1

2

SC
又∵SA⊥BC，AB⊥BC，SA、AB是平面SAB內(nèi)的相交直線
∴BC⊥平面SAB，可得BC⊥SB
因此Rt△BSC中，中線OB=

1

2

SC
∴O是三棱錐S-ABC的外接球心，
∵Rt△SCA中，AC=

3

，SA=1
∴SC=2，可得外接球半徑R=

1

2

SC=1
因此，外接球的體積V=

4

3

πR³=

4

3

π
故答案為：

4

3

π．

點(diǎn)評：本題在特殊三棱錐中求外接球的表面積，著重考查了線面垂直的判定與性質(zhì)、勾股定理和球的表面積公式等知識，屬于中檔題．