Question

14．設(shè)數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n=e²a_n+1（n∈N^*），$\frac{5}{2}$-$\frac{f（n）}{\underset{\stackrel{n}{Π}}{i=1}{a}_{i}}$=n，其中符號(hào)Π表示連乘，如$\underset{\stackrel{5}{Π}}{i=1}$i=1×2×3×4×5，則f（n）的最小值為-$\frac{1}{2{e}^{6}}$．

Answer 1

分析 a₁=1，a_n=e²a_n+1（n∈N^*），可得a_n=e^-2（n-1）.$\frac{5}{2}$-$\frac{f（n）}{\underset{\stackrel{n}{Π}}{i=1}{a}_{i}}$=n，化為：f（n）=$（\frac{5}{2}-n）$${e}^{-2×\frac{n（n-1）}{2}}$=$（\frac{5}{2}-n）$${e}^{-{n}^{2}+n}$．考查函數(shù)f（x）=$（\frac{5}{2}-x）$${e}^{-{x}^{2}+x}$的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出．

解答 解：∵a₁=1，a_n=e²a_n+1（n∈N^*），∴a_n=e^-2（n-1）．
$\frac{5}{2}$-$\frac{f（n）}{\underset{\stackrel{n}{Π}}{i=1}{a}_{i}}$=n，化為：f（n）=$（\frac{5}{2}-n）$${e}^{-2×\frac{n（n-1）}{2}}$=$（\frac{5}{2}-n）$${e}^{-{n}^{2}+n}$．
考查函數(shù)f（x）=$（\frac{5}{2}-x）$${e}^{-{x}^{2}+x}$，f′（x）=$\frac{1}{2}$（4x²-12x+3）•${e}^{-{x}^{2}+x}$，令f′（x）=0，解得x₁=$\frac{3-\sqrt{6}}{2}$，x₂=$\frac{3+\sqrt{6}}{2}$，
∴0＜x₁＜1，2＜x₁＜3．
當(dāng)x＜x₁時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x₁＜x＜x₂時(shí)，f′（x）＜0；
當(dāng)x＞x₂時(shí)，f′（x）＞0．即f（x）在（-∞，x₁），（x₂，+∞）單調(diào)遞增，在（x₁，x₂）上單調(diào)遞減，
∴h（x）_min=h（x₂），即f（n）_min=min{f（2），f（3）}，f（2）=$\frac{1}{2{e}^{2}}$＞f（3）=-$\frac{1}{2{e}^{6}}$．
∴f（n）_min=f（3）=-$\frac{1}{2{e}^{6}}$．
故答案為：-$\frac{1}{2{e}^{6}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．