Question

8．已知向量$\overrightarrow{a}$=（x，1，2），$\overrightarrow$=（1，y，-2），$\overrightarrow{c}$=（3，1，z），$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，$\overrightarrow$⊥$\overrightarrow{c}$．
（1）求向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$；
（2）求向量（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$）與（$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$）所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)空間向量的坐標(biāo)表示與$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，且$\overrightarrow$⊥$\overrightarrow{c}$，列出方程組求出x、y、z的值即可；
（2）根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算，利用公式求出（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$）與（$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$）所成角的余弦值．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow{a}$=（x，1，2），$\overrightarrow$=（1，y，-2），$\overrightarrow{c}$=（3，1，z），
且$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，$\overrightarrow$⊥$\overrightarrow{c}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{1}=\frac{1}{y}=\frac{2}{-2}}\\{3+y-2z=0}\end{array}\right.$，
解得x=-1，y=-1，z=1；
∴向量$\overrightarrow{a}$=（-1，1，2），$\overrightarrow$=（1，-1，-2），$\overrightarrow{c}$=（3，1，1）；
（2）∵向量（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$）=（2，2，3），（$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$）=（4，0，-1），
∴（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$）•（$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$）=2×4+2×0+3×（-1）=5，
|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{{2}^{2}{+2}^{2}{+3}^{2}}$=$\sqrt{17}$，
|$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{{4}^{2}{+0}^{2}{+（-1）}^{2}}$=$\sqrt{17}$；
∴（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$）與（$\overrightarrow$+$\overrightarrow{c}$）所成角的余弦值為
cosθ=$\frac{（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}）•（\overrightarrow+\overrightarrow{c}）}{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}|×|\overrightarrow+\overrightarrow{c}|}$=$\frac{5}{\sqrt{17}×\sqrt{17}}$=$\frac{5}{17}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算與數(shù)量積的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．