Question

3．已知0＜c＜b＜a，求證：a^ab^bc^c＞$（abc）^{\frac{a+b+c}{3}}$．

Answer 1

分析 利用0＜c＜b＜a，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知lga≥lgb≥lgc，進(jìn)而利用排序不等式可證明3（alga+blgb+clgc）≥（a+b+c）（lga+lgb+lgc），從而可得結(jié)論．

解答 證明：∵0＜c＜b＜a，
∴l(xiāng)ga＞lgb＞lgc，
據(jù)排序不等式有：
alga+blgb+clgc＞blga+clgb+algc，
alga+blgb+clgc＞clga+algb+blgc，
alga+blgb+clgc=alga+blgb+clgc，
上述三式相加得：
3（alga+blgb+clgc）＞（a+b+c）（lga+lgb+lgc），
即lg（a^ab^bc^c）＞$\frac{a+b+c}{3}$lg（abc），
即a^ab^bc^c＞$（abc）^{\frac{a+b+c}{3}}$．

點評 本題考查不等式的證明，考查排序不等式，注意解題方法的積累，屬于中檔題．