Question

橢圓C₁：

x2

2

+y²=1，橢圓C₂：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個焦點坐標(biāo)為（

5

，0），斜率為1的直線l與橢圓C₂相交于A、B兩點，線段AB的中點H的坐標(biāo)為（2，-1）．
（1）求橢圓C₂的方程；
（2）設(shè)P為橢圓C₂上一點，點M、N在橢圓C₁上，且

OP

=

OM

+2

ON

，則直線OM與直線ON的斜率之積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的簡單性質(zhì)

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）求出橢圓C₂的c，設(shè)出A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入橢圓方程，運用點差法，結(jié)合中點坐標(biāo)公式和直線的斜率公式，得到a，b的方程，解方程解得a，b，即可得到所求橢圓方程；
（2）設(shè)P（x₀，y₀），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），代入橢圓方程，再由向量的坐標(biāo)相等，得到方程，代入整理，即可得到x₁x₂+2y₁y₂=0，再由斜率公式，即可得到斜率之積為定值．

解答： 解：（1）橢圓C₂：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個焦點坐標(biāo)為（

5

，0），
則c=

5

，即有a²-b²=5，①
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則

x12

a2

+

y12

b2

=1，

x22

a2

+

y22

b2

=1，
兩式相減的，

(x1-x2)(x1+x2)

a2

+

(y1-y2)(y1+y2)

b2

=0，
由于x₁+x₂=4，y₁+y₂=-2，
則有k_AB=

y1-y2

x1-x2

=

2b2

a2

=1，②
由①②解得，a=

10

，b=

5

．
則橢圓C₂的方程為

x2

10

+

y2

5

=1；
（2）設(shè)P（x₀，y₀），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則 x₀²+2y₀²=10，x₁²+2y₁²=2，x₂²+2y₂²=2，
由

OP

=

OM

+2

ON

，
可得：（x₀，y₀）=（x₁，y₁）+2（x₂，y₂），
∴

x0=x1+2x2 y0=y1+2y2

，
∴x₀²+2y₀²=（x₁+2x₂）²+2（y₁+2y₂）²
=x₁²+4x₁x₂+4x₂²+2y₁²+8y₁y₂+8y₂²=（x₁²+2y₁²）+4（x₂²+2y₂²）+4（x₁x₂+2y₁y₂）
=10+4（x₁x₂+2y₁y₂）=10．
∴x₁x₂+2y₁y₂=0，
∴

y1y2

x1x2

=-

1

2

，即k_OM•k_ON=-

1

2

，
∴直線OM與直線ON的斜率之積為定值，且定值為-

1

2

．

點評：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、以及點差法求中點弦問題、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立、向量相等、斜率計算公式、整體代入等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．