Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+

1-x

a(1+x)

，其中a為不為零的常數(shù)．
（Ⅰ）若f（x）在點(diǎn)（1，0）處的切線過點(diǎn)（2，-1），求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）當(dāng)a=1時(shí)，若存在x₁，x₂∈[1，e²]使得f（x₁）-f（x₂）≥M成立，求滿足條件的最大整數(shù)M；
（Ⅲ）若f（x）無極值，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程即可求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）求出函數(shù)的單調(diào)性，求出在[1，e²]使得[f（x₁）-f（x₂）]的最大值即可求滿足條件的最大整數(shù)M；
（Ⅲ）根據(jù)函數(shù)極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=

1

x

-

2

a(1+x)2

，
則f′（1）=1-

1

2a

，f（1）=0，
則f（x）在點(diǎn)（1，0）處的切線方程為y=（1-

1

2a

）（x-1），
∵切線過點(diǎn)（2，-1），
∴1-

1

2a

=-1，解得a=

1

4

；
（Ⅱ）當(dāng)a=1時(shí)，則f（x）=lnx+

1-x

1+x

=lnx+

2-(1+x)

1+x

=lnx+

2

1+x

-2，
函數(shù)的f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）=

1

x

-

2

(1+x)2

=

(1+x)2-2x

x(1+x)2

=

1+x2

x(1+x)2

，
當(dāng)x∈[1，e²]時(shí)，f′（x）＞0，即函數(shù)f（x）在[1，e²]為增函數(shù)，
若存在x₁，x₂∈[1，e²]使得f（x₁）-f（x₂）≥M成立，
則[f（x₁）-f（x₂）]_max=f（e²）-f（1）=（2+

2

1+e2

-2）-0=

2

1+e2

，
則M≤

2

1+e2

，即滿足條件的最大整數(shù)M=

2

1+e2

；
（Ⅲ）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），
函數(shù)的f′（x）=

1

x

-

2

a(1+x)2

=

a(1+x)2-2x

ax(1+x)2

=

ax2+(2a-2)x+a

ax(1+x)2

，
設(shè)g（x）=ax²+（2a-2）x+a，
①當(dāng)判別式△=（2a-2）²-4a²=8a-4≤0，即a≤

1

2

且a≠0時(shí)，函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，滿足條件．
②若a＞0，

△=8a-4＞0 - 2a-2 2a ＜0

，即

a＞0 a＞ 1 2 a＞1

，解得a＞1時(shí)，方程g（x）=0有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)根，則函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，此時(shí)無極值點(diǎn)．
綜上a＞1或a≤

1

2

且a≠0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、二次函數(shù)的單調(diào)性、一元二次方程實(shí)數(shù)解與判別式的關(guān)系，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．