【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,平面PAD⊥平面ABCD,點(diǎn)M在線段PPD//平面MAC,PA=PD=,AB=4.
(I)求證:M為PB的中點(diǎn);
(II)求二面角B-PD-A的大小;
(III)求直線MC與平面BDP所成角的正弦值.
【答案】(1)見解析(2)(3)
【解析】試題分析:(Ⅰ)設(shè)交點(diǎn)為,連接,因?yàn)榫面平行,即平面,根據(jù)性質(zhì)定理,可知線線平行,即,再由為的中點(diǎn),可知為的中點(diǎn);(Ⅱ)因?yàn)槠矫?/span>平面, ,所以取的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,根據(jù)向量法先求兩平面的法向量, ,再根據(jù)公式,求二面角的大。唬á螅└鶕(jù)(Ⅱ)的結(jié)論,直接求即可.
試題解析:解:(I)設(shè)交點(diǎn)為,連接.
因?yàn)?/span>平面,平面平面,所以.
因?yàn)?/span>是正方形,所以為的中點(diǎn),所以為的中點(diǎn).
(II)取的中點(diǎn),連接, .
因?yàn)?/span>,所以.
又因?yàn)槠矫?/span>平面,且平面,所以平面.
因?yàn)?/span>平面,所以.
因?yàn)?/span>是正方形,所以.
如圖建立空間直角坐標(biāo)系,則, , ,
, .
設(shè)平面的法向量為,則,即.
令,則, .于是.
平面的法向量為,所以.
由題知二面角為銳角,所以它的大小為.
(III)由題意知, , .
設(shè)直線與平面所成角為,則.
所以直線與平面所成角的正弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為梯形,PD⊥底面ABCD,AB∥CD,AD⊥CD,AD=AB=1,BC=.
(Ⅰ)求證:平面PBD⊥平面PBC;
(Ⅱ)設(shè)H為CD上一點(diǎn),滿足=2,若直線PC與平面PBD所成的角的正切值為,求二面角H-PB-C的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某批次的某種燈泡個(gè),對(duì)其壽命進(jìn)行追蹤調(diào)查,將結(jié)果列成頻率分布表如下,根據(jù)壽命將燈泡分成優(yōu)等品、正品和次品三個(gè)等級(jí),其中壽命大于或等于天的燈泡是優(yōu)等品,壽命小于天的燈泡是次品,其余的燈泡是正品.
壽命 (天) | 頻數(shù) | 頻率 |
合計(jì) |
(1)根據(jù)頻率分布表中的數(shù)據(jù),寫出的值;
(2)某人從這個(gè)燈泡中隨機(jī)地購(gòu)買了個(gè),求此燈泡恰好不是次品的概率;
(3)某人從這批燈泡中隨機(jī)地購(gòu)買了個(gè),如果這個(gè)燈泡的等級(jí)情況恰好與按三個(gè)等級(jí)分層抽樣所得的結(jié)果相同,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是某校舉行歌唱比賽時(shí),七位評(píng)委為某位選手打出的分?jǐn)?shù)的莖葉統(tǒng)計(jì)圖,去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后,所剩數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)依次為( )
A.87,86
B.83,85
C.88,85
D.82,86
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某旅游愛好者計(jì)劃從3個(gè)亞洲國(guó)家A1,A2,A3和3個(gè)歐洲國(guó)家B1,B2,B3中選擇2個(gè)國(guó)家去旅游.
(1)若從這6個(gè)國(guó)家中任選2個(gè),求這2個(gè)國(guó)家都是亞洲國(guó)家的概率;
(2)若從亞洲國(guó)家和歐洲國(guó)家中各選1個(gè),求這兩個(gè)國(guó)家包括A1,但不包括B1的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)和是兩個(gè)等差數(shù)列,記 ,
其中表示這個(gè)數(shù)中最大的數(shù).
(Ⅰ)若, ,求的值,并證明是等差數(shù)列;
(Ⅱ)證明:或者對(duì)任意正數(shù),存在正整數(shù),當(dāng)時(shí), ;或者存在正整數(shù),使得是等差數(shù)列.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】三名工人加工同一種零件,他們?cè)谝惶熘械墓ぷ髑闆r如圖所示,其中點(diǎn)Ai的橫、縱坐標(biāo)分別為第i名工人上午的工作時(shí)間和加工的學(xué)科&網(wǎng)零件數(shù),點(diǎn)Bi的橫、縱坐標(biāo)分別為第i名工人下午的工作時(shí)間和加工的零件數(shù),i=1,2,3.
①記Qi為第i名工人在這一天中加工的零件總數(shù),則Q1,Q2,Q3中最大的是_________.
②記pi為第i名工人在這一天中平均每小時(shí)加工的零件數(shù),則p1,p2,p3中最大的是_________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對(duì)于函數(shù)f(x)定義域中任意的x1 , x2(x1≠x2),有如下結(jié)論:
(1)f(x1+x2)=f(x1)f(x2)
(2)f(x1x2)=f(x1)+f(x2)
(3)
當(dāng)f(x)=ex時(shí),上述結(jié)論中正確結(jié)論的序號(hào)是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)P是圓x2+y2=4上一動(dòng)點(diǎn),PD⊥x軸于點(diǎn)D,記滿足 = ( + )的動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為Γ. (Ⅰ)求軌跡Γ的方程;
(Ⅱ)已知直線l:y=kx+m與軌跡F交于不同兩點(diǎn)A,B,點(diǎn)G是線段AB中點(diǎn),射線OG交軌跡Γ于點(diǎn)Q,且 =λ ,λ∈R.
①證明:λ2m2=4k2+1;
②求△AOB的面積S(λ)的解析式,并計(jì)算S(λ)的最大值.
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