Question

17．已知△ABC的頂點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（-$\sqrt{3}$，0）、（$\sqrt{3}$，0），C為動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足sinB+sinA=$\sqrt{2}$sinC．
（1）求點(diǎn)C的軌跡L的方程；
（2）設(shè)M（x₀，y₀）是曲線L上的任一點(diǎn)，從原點(diǎn)O向圓M：（x-x₀）²+（y-y₀）²=2作兩條切線，分別交曲線L于點(diǎn)P、Q．
①若直線OP、OQ的斜率均存在，并記為k₁，k₂，求證：k₁k₂為定值；
②試問(wèn)OP²+OQ²是否為定值？若是，求出該值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用正弦定理和橢圓的定義可得，C的軌跡為以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，且有a=$\sqrt{6}$，c=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，即可得到所求軌跡方程；
（2））①由直線OP：y=k₁x，OQ：y=k₂x與圓M相切，運(yùn)用圓心到直線的距離為半徑，即可得到k₁，k₂為方程（x₀²-2）k²-2x₀y₀k+y₀²-2=0的兩個(gè)不等的實(shí)根，運(yùn)用韋達(dá)定理和點(diǎn)M在橢圓上，滿(mǎn)足橢圓方程，化簡(jiǎn)即可得到所求定值；
②OP²+OQ²為定值9．討論當(dāng)直線OP，OQ的斜率均存在時(shí)，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），運(yùn)用①的結(jié)論，結(jié)合P，Q在橢圓上，滿(mǎn)足橢圓方程，化簡(jiǎn)整理，由兩點(diǎn)的距離公式即可得到定值9；當(dāng)直線OP，OQ的斜率不存在時(shí)，圓M與x，y軸均相切，即可得到定值．

解答 解：（1）由sinB+sinA=$\sqrt{2}$sinC，可得|CA|+|CB|=$\sqrt{2}$|AB|，
即有|CA|+|CB|=2$\sqrt{6}$＞2$\sqrt{3}$，
即有C的軌跡為以A，B為焦點(diǎn)的橢圓，
且a=$\sqrt{6}$，c=$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
可得軌跡L的方程為$\frac{{x}^{2}}{6}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1（y≠0）；
（2）①證明：由直線OP：y=k₁x與圓M相切，可得$\frac{|{k}_{1}{x}_{0}-{y}_{0}|}{\sqrt{1+{{k}_{1}}^{2}}}$=$\sqrt{2}$，
即有（x₀²-2）k₁²-2x₀y₀k₁+y₀²-2=0，
同理由直線OQ：y=k₂x與圓M相切，
可得（x₀²-2）k₂²-2x₀y₀k₂+y₀²-2=0，
即k₁，k₂為方程（x₀²-2）k²-2x₀y₀k+y₀²-2=0的兩個(gè)不等的實(shí)根，
可得k₁k₂=$\frac{{{y}_{0}}^{2}-2}{{{x}_{0}}^{2}-2}$，
由M在橢圓上，可得$\frac{{x}_{{0}^{2}}}{6}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{3}$=1，即為y₀²=3-$\frac{1}{2}$x₀²，
即有k₁k₂=$\frac{1-\frac{1}{2}{{x}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-2}$=-$\frac{1}{2}$；
②OP²+OQ²為定值9．
理由如下：當(dāng)直線OP，OQ的斜率均存在時(shí)，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由k₁k₂=-$\frac{1}{2}$，即y₁²y₂²=$\frac{1}{4}$x₁²x₂²，
由P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）在橢圓上，可得
$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{6}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{3}$=1，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{6}$+$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{3}$=1，
即y₁²=3-$\frac{1}{2}$x₁²，y₂²=3-$\frac{1}{2}$x₂²，
則（3-$\frac{1}{2}$x₁²）（3-$\frac{1}{2}$x₂²）=$\frac{1}{4}$x₁²x₂²，
即有x₁²+x₂²=6，
y₁²+y₂²=（3-$\frac{1}{2}$x₁²）+（3-$\frac{1}{2}$x₂²）=6-3=3，
即OP²+OQ²=9；
當(dāng)直線OP，OQ的斜率不存在時(shí)，圓M與x，y軸均相切，
顯然有OP²+OQ²=9．
綜上可得，OP²+OQ²為定值9．

點(diǎn)評(píng) 本題考查軌跡方程的求法，注意運(yùn)用橢圓定義，以及正弦定理，考查直線和圓心切的條件：d=r，以及點(diǎn)滿(mǎn)足橢圓方程，考查兩點(diǎn)的距離公式的運(yùn)用，化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．