Question

10．已知定義在R上的可導函數(shù)f（x）的導函數(shù)為f'（x），滿足f'（x）＜f（x），且f（x+3）為偶函數(shù)，f（6）=1，則不等式f（x）＞e^x的解集為（　�。�

• A． （-∞，0）
• B． （0，+∞）
• C． （1，+∞）
• D． （4，+∞）

Answer 1

分析 令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，利用導數(shù)和已知即可得出其單調(diào)性．再利用函數(shù)的對稱性和已知可得g（0）=1，從而求得不等式f（x）＞e^x的解集．

解答 解：設g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，則g′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$．
∵f′（x）＜f（x），∴g′（x）＜0．∴函數(shù)g（x）是R上的減函數(shù)，
∵函數(shù)f（x+3）是偶函數(shù)，
∴函數(shù)f（-x+3）=f（x+3），∴函數(shù)關于x=3對稱，∴f（0）=f（6）=1，
原不等式等價為g（x）＞1，∴不等式f（x）＜e^x等價g（x）＞1，即g（x）＞g（0），
∵g（x）在R上單調(diào)遞減，∴x＜0．
∴不等式f（x）＞e^x的解集為（-∞，0）．
故選：A

點評 本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用函數(shù)的單調(diào)性求解不等式，體現(xiàn)了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，屬于中檔題