Question

8．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且對(duì)n∈N^*都有S_n=2a_n+n-4
（1）求證：數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列，并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）數(shù)列{b_n} 滿足b_n=$\frac{1}{（n+1）lo{g}_{2}（{a}_{n}-1）}$，（n∈N^*）求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n．

Answer 1

分析 （1）利用遞推公式化為：a_n=2a_n-1-1，變形為a_n-1=2（a_n-1-1），即可證明．
（2）由（1）可知：a_n-1=2ⁿ，即a_n=2ⁿ+1．可得b_n=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答 （1）證明：∵對(duì)n∈N^*都有S_n=2a_n+n-4，∴當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2a₁-3，解得a₁=3．
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2a_n+n-4-[2a_n-1+（n-1）-4]=2a_n-2a_n-1+1，
化為a_n=2a_n-1-1，變形為a_n-1=2（a_n-1-1），
∴數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為2，
（2）解：由（1）可知：a_n-1=2ⁿ，即a_n=2ⁿ+1．
∴b_n=$\frac{1}{（n+1）lo{g}_{2}（{a}_{n}-1）}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，（n∈N^*）
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n=$（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$
=1-$\frac{1}{n+1}$
=$\frac{n}{n+1}$．．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“裂項(xiàng)求和”、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、遞推關(guān)系的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．