Question

設(shè)函數(shù)f（x）=sin²ωx+

3

sinωxsin（ωx+

π

2

）+1（ω＞0）的最小正周期為π．
（1）求ω；
（2）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．
（3）求f（x）在區(qū)間[0，

2

3

π]上的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二倍角的正弦,兩角和與差的正弦函數(shù),二倍角的余弦

專題：三角函數(shù)的求值

分析：利用三角恒等變換可得f（x）=sin（2ω-

π

6

）+

3

2

，
（1）利用正弦函數(shù)的周期公式可求得ω=1；
（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）即可求得其單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）x∈[0，

2

3

π]⇒2x-

π

6

∈[-

π

6

，

π

2

]，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性與有界性即可求得f（x）在區(qū)間[0，

2

3

π]上的取值范圍．

解答： 解：f（x）=sin²ωx+

3

sinωxsin（ωx+

π

2

）+1=

1-cos2ωx

2

+

3

2

sin2ωx=sin（2ω-

π

6

）+

3

2

，
（1）∵函數(shù)y=f（x）的最小正周期為π，
∴

2π

2ω

=π，
解得：ω=1；
（2）由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）得：kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

（k∈Z），
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間[-

π

6

+kπ，

π

3

+kπ]，k∈π．
（3）∵x∈[0，

2

3

π]，
∴2x-

π

6

∈[-

π

6

，

π

2

]，
∴sin（2x-

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
∴f（x）∈[1，

5

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角恒等變換，著重考查正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性與最值，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．